Question

（2007•寶山區(qū)一模）如圖，同一平面內(nèi)的三條平行直線l₁，l₂，l₃，l₁與l₂的距離為1，l₂與l₃的距離為2，若正三角形的三個頂點A、B、C分別在這三條直線上，則此正三角形的面積為

7 3

3

．

Answer 1

分析：欲求正三角形的面積，只需求出正三角形的邊長，而在幾何中求三角形的邊長，須把它放入其它三角形中通過解三角形來求，可過B點作直線EF垂直與l₁，l₂，l₃，交l₁于點E，交l₃于F，的到的兩個直角三角形△ABE與△CBF中，都含有正三角形的邊長，且∠ABE+∠CBF=120°，就可借助這兩個三角形中的邊角關系，求出正三角形邊長，再用三角形的面積公式求出面積．

解答：解：過B點作直線EF垂直與l₁，l₂，l₃，交l₁于點E，交l₃于點F，
則BE=1，BF=2，設正三角形ABC邊長為a
設∠ABE=θ，則∠CBF=120°-θ
在Rt△ABE中，BE=ABcosθ=acosθ=1
在Rt△CBF中，BF=BCcos（120°-θ）=a（cos120°cosθ+sin120°sinθ）=2
解得，tanθ=

5

3

∴cosθ=

3

28

，∴a=

28

3

∴S△ABC=

1

2

a2sin60°=

1

2

×

28

3

×

3

2

=

7 3

3

故答案為

7 3

3

點評：本題主要考查了三角公式在解三角形中的應用，需要學生具備識圖能力，轉(zhuǎn)化的能力．