Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線 相切．

（1）求動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程；

（2）拋物線C上一點(diǎn)，是否存在直線與軌跡C相交于兩不同的點(diǎn)B，C，使 的垂心為？若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程為；                 4分

（Ⅱ）由已知得，直線的斜率為，由直線的斜率為1，

設(shè)直線的方程是，由，消去得，

由韋達(dá)定理得，由，得

由，得，

即，

所以，

即，得，

解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程是，過(guò)點(diǎn)，不合，

所以存在這樣的直線，其方程是．                  10分

考點(diǎn)：拋物線定義及拋物線與直線相交的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：拋物線定義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，依據(jù)圓錐曲線定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是常用的求軌跡方程的方法，當(dāng)已知中有直線與圓錐曲線相交時(shí)，常聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)條件求結(jié)論