Question

【題目】已知函數(shù)，其中，記函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)若函數(shù)的最大值為2，求的值；

(3)若對(duì)于內(nèi)的任意實(shí)數(shù),不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定義域為;(2) ;(3) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，列出不等式組，即可求解函數(shù)的定義域；

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到函數(shù)的最大值，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)的值；

（3）由題意在恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，

設(shè)，再利用換元法和基本不等式，即可求解函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）要使函數(shù)有意義：則有，解得－2＜x＜1

∴ 函數(shù)的定義域為.

（2）

因?yàn)?

所以

因?yàn)?/span>，所以，

即，

由，得，

（3）由在恒成立，

得

因?yàn)?/span>，所以

所以在恒成立

設(shè)，令

則

即，因?yàn)?/span>，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)

所以

所以 .