Question

已知；橢圓C的對稱中心在坐標原點，一個頂點為A（0，2），左焦點為F(-2

2

，  0)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點B（0，-2）的直線l，使直線l與橢圓C相交于不同的兩點M、N，并滿足|AM|=|AN|，若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，則b=2，c=2

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設存在直線l：y=kx-2（k≠0），則由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上，由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y，得x²+3（kx-2）²=12．再由根的判別式和韋達定理知存在直線l滿足題意，其直線l的方程為y=±

3

3

x-2．

解答：解：（Ⅰ）依題意，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，則b=2，c=2

2

∴a²=c²+b²=12．
即橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設存在直線l：y=kx-2（k≠0），則由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上
由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y，得x²+3（kx-2）²=12．
即（1+3k²）x²-12kx=0（*）
∵k≠0，∴△=（-12k）²=144k²＞0，即方程（*）有兩個不相等的實根
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x₀，y₀），
則x1+x2=

12k

1+3k2

．∴x0=

x1+x2

2

=

6k

1+3k2

．y0=kx0-2=

6k2-2(1+3k2)

1+3k2

=-

2

1+3k2

．
即P(

6k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)．直線AP的斜率為k1=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-2(1+3k2)

6k

．
由AP⊥MN，得

-2-2(1+3k2)

6k

×k=-1．
∴2+2+6k²=6，∴k=±

3

3

．
∴存在直線l滿足題意，其直線l的方程為y=±

3

3

x-2．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．