Question

如圖，已知圓O′過定點(diǎn)A(0，p)(p＞0),圓心O′在拋物線x²=2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓在x軸上截得的弦，令|AM|=d₁,|AN|=d₂,∠MAN=θ.

(1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？證明你的結(jié)論.

(2)求+的最大值，并求取得最大值時(shí)的θ值.

Answer 1

解：(1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|為一定值.

    設(shè)O′(x₀,y₀)，則x²₀=2py₀(y₀≥0),

    取線段MN中點(diǎn)B，則有O′B⊥MN,所以有：

|M′N|=2|MB|=

=

=

==2p.

(2)在△AMN中運(yùn)用余弦定理，得

|MN|²=|AM|²+|AN|²-2|AM||AN|cosθd²₁+d²₂-2d₁d₂cosθ=4p²，  ①

    再由三角形的面積公式，在△AMN中可得：

|AM||AN|sinθ=|MN||AO|d₁d₂sinθ=2p².                                   ②

    由①、②可得：

+==

=2sinθ+2cosθ=2sin(θ+)≤2,

    當(dāng)sin(θ+)=1時(shí)，+取最大值2,

    又0＜θ＜π,

    所以取最大值時(shí)θ=.