Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=n²+n（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求證：．

Answer 1

（I）解：由2S_n=n²+n（n∈N^*）．①
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=（n-1）²+n-1②
①-②得a_n=n
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n；
（II）證明：∵
∴=
分析：（I）已知2S_n=n²+n（n∈N^*）．①，當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=（n-1）²+n-1②，兩式相減①-②得a_n=n，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足上式，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)，可得=
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查放縮法證明不等式，綜合性強(qiáng)．