Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

（1）∵直線過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0），
∴直線L：

x

a

-

y

b

=1與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

3

2

，∴

3

2

=

|ab|

a2+b2

．①…（2分）
∵橢圓的離心率 e=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．②…（4分）
由①得4a²b²=3a²+3b²，即4a²（a²-c²）=3a²+3（a²-c²）③
由②③得a²=3，c²=2
∴b²=a²-c²=1
∴所求橢圓的方程是

x2

3

+y²=1…（6分）
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

-12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

…（10分）
∵

EC

=（x₁+1，y₁），

ED

=（x₂+1，y₂），且以CD為圓心的圓過點(diǎn)E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×

9

1+3k2

+（2k+1）×

-12k

1+3k2

+5=0，解得k=

7

6

＞1，
∴當(dāng)k=

7

6

時(shí)以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E…（14分）