Question

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a₅=512，T_n是數(shù)列{log₂a_n}的前n項和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）求滿足(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)＞

1011

2013

的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

（1）設(shè)公比為q，依題意，2×q⁴=512
∵數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴q=4
∴∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1；
（II）由（I）得b_n=log₂a_n=log₂（2^2n-1）=2n-1
∴數(shù)列{b_n}為首項為1，公差為2的等差數(shù)列
∴T_n=

n(1+2n-1)

2

=n²；
（III）(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)=

22-1

22

•

32-1

32

•…•

n2-1

n2

=

1•3•2•4•3•5…•(n-1)(n+1)

22•32•…•n2

=

n+1

2n

令

n+1

2n

＞

1011

2013

∴n＜223

2

3

∴滿足(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)＞

1011

2013

的最大正整數(shù)n的值為223．