Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M在AB上，且AM=

1

3

，點P在平面ABCD上，且動點P到直線A₁D₁的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1，在平面直角坐標系xoy中，動點P的軌跡方程是

 

．

Answer 1

分析：以AB，AD，AA₁ 為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系，設P（x，y，0），由題意可得 M（

1

3

，0，0），由題意
可得（y²+1）-[(x-

1

3

)2+(y-0)2]=1，化簡可得結(jié)果．

解答：解：作PN⊥AD，則PN⊥面A₁D₁DA，作 NH⊥A₁D₁ ，N，H為垂足則由三垂線定理可得 PH⊥A₁D₁．
以AB，AD，AA₁ 為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系，設P（x，y，0），由題意可得 M（

1

3

，0，0）．
再由PN²+NH²=PH²，PH²-PM²=1，可得 PN²+NH²-PM²=1，
即 x² +1-[(x-

1

3

)2+(y-0)2]=1，化簡可得y²=

2

3

x-

1

9

，
故答案為y²=

2

3

x-

1

9

．

點評：本題考查點軌跡方程的求法，得到 x²+1-[(x-

1

3

)2+(y-0)2]=1，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．