Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

5 2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求斜率k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率為

6

3

，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

5 2

3

，建立方程，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）將y=k（x+1）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，可求斜率k的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)滿足a²=b²+c²，

c

a

=

6

3

，

1

2

×b×2c=

5 2

3

…（3分）
解得a2=5，b2=

5

3

，則橢圓方程為

x2

5

+

y2

5 3

=1…（6分）
（Ⅱ）將y=k（x+1）代入

x2

5

+

y2

5 3

=1中得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（8分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，所以x1+x2=-

6k2

3k2+1

…（10分）
因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，所以-

6k2

3k2+1

=-1，解得k=±

3

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．