Question

已知函數(shù)f(x)=-x³+ax²-4()，是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
（1）當a=2時，對任意的求的最小值；
（2）若存在使f(x₀)>0，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）-11（2）

解析試題分析：
（1）把a=2帶入f(x),對f(x)求導(dǎo)得單調(diào)性，得極值與[-1,1]區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值進行比較得到最小值，對f(x)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)可以對稱軸圖像得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最小值，函數(shù)f(x)與f(x)的導(dǎo)函數(shù)最小值之和即為的最小值.
（2）該問題為固定區(qū)間上的恒成立問題，只需要函數(shù)f(x)在區(qū)間最小值大于0.關(guān)于函數(shù)f(x)的最值可以通過求導(dǎo)求單調(diào)性來得到在該區(qū)間上的最值，由于導(dǎo)函數(shù)是含參數(shù)的二次函數(shù)，故討論需遵循開口，有無根，根的大小等步驟進行分類討論確定原函數(shù)的單調(diào)性，得到最小值，進而得到a的取值范圍.
試題解析：
（1）由題意知
令    2分
當在[-1，1]上變化時，隨的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
	-7	-	0	+	1
	-1	↓	-4	↑	-3

的最小值為    4分
的對稱軸為，且拋物線開口向下,
的最小值為    5分
的最小值為-11.    6分
（2）.
①若,上單調(diào)遞減，
又
    9分
②若當
從而上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
.    12分
根據(jù)題意，
綜上，的取值范圍是    14分
(或由,用兩種方法可解)