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          已知f(x)=x(x-a)(x-b),點A(s,f(s)),B(t,f(t)).

          (Ⅰ)若a=b=1,求函數f(x)的單調遞增區(qū)間;

          (Ⅱ)若函數f(x)的導函數f′(x)滿足:當|x|≤1時,有|f′(x)|≤恒成立,求函數f(x)的解析表達式;

          (Ⅲ)若0<a<b,函數f(x)在x=s和x=t處取得極值,且a+b=,證明:不可能垂直.

          答案:解:(Ⅰ)f(x)=x3-2x2+x,

          f′(x)=3x2-4x+1

          令f′(x)≥0得3x2-4x+1≥0,

          解得x≤或x≥1,

          故f(x)的增區(qū)間(-∞,]和[1,+∞) 

          (Ⅱ)f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab

          當x∈[-1,1)時,恒有|f′(x)|≤

          故有≤f′(1)≤≤f′(-1)≤,

          ≤f′(0)≤,

          ①+②,得≤ab≤

          又由③,得ab=,將上式代回①和②,

          得a+b=0,

          故f(x)=x3-x. 

          (Ⅲ)假設,

          ·=(s,f(x))·(t,f(t))=st+f(s)f(t)=0

          故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,

          [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,

          由s,t為f′(x)=0的兩根可得,

          s+t=(a+b),st=,(0<a<b)

          從而有ab(a-b)2=9.

          這樣(a+b)2=(a-b)2+4ab

          =

          即a+b≥,這與a+b<矛盾.

          不可能垂直.

          練習冊系列答案
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          (Ⅱ)討論函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調性;
          (Ⅲ)若數學公式,設g(x)是函數f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導函數,問是否存在實數a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數學公式上的值域為數學公式,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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