Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x-e^-x，x∈R有一個(gè)零點(diǎn)為0，且函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及f′（x）的最值；
（3）請?zhí)骄慨?dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）≥kx恒成立，若存在，請求出k的取值范圍，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=ae^x-e^-x，x∈R有一個(gè)零點(diǎn)為0，則有f（0）=0，得出a=1
（2）由（1），f（x）=e^x-e^-x，求出f′（x），利用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求解即可．
（3）假設(shè)當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）≥kx恒成立．構(gòu)造g（x）=f（x）-kx=e^x-e^-x-kx只需g（x）min≥0即可，轉(zhuǎn)化為求g（x）min．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）由題可知f（0）=ae⁰-e^-0=0，a=1…．（1分）
（2）∴f（x）=e^x-e^-x即f(x)=ex-

1

ex

f′(x)=ex+

1

ex

≥2

ex• 1 ex

=2＞0
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，f'（x）的最小值為2．…（4分）
（3）假設(shè)當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）≥kx恒成立．
設(shè)g（x）=f（x）-kx=e^x-e^-x-kx，g'（x）=e^x+e^-x-k…．（6分）
當(dāng)k≤2時(shí)，g'（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴g（x）≥g（0）=0恒成立
所以f（x）≥kx恒成立．…．（9分）
當(dāng)k＞2時(shí)，
不妨設(shè) g'（x）=e^x+e^-x-k＞0
則x＜x1=ln

k- k2-4

2

或x＜x2=ln

k+ k2-4

2

∵k＞2，∴x₁＜0，x₂＞0
∴0＜x＜x₂時(shí)，g'（x）＜0，x＞x₂時(shí)，g'（x）＞0
∴g（x）_min=g（x₂）＜g（0）=0
所以當(dāng)k＞2時(shí)g（x）≥0恒成立是不可能的．
綜上所得：當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，存在實(shí)數(shù)k≤2，使得f（x）≥kx恒成立．
…．（13分）

點(diǎn)評：此題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)最值，極值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件，是一道綜合題．