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        1. 已知函數(shù)f(x)=1+a•(
          1
          2
          )x+(
          1
          4
          )x
          ;g(x)=
          1-m•2x
          1+m•2x

          (I)當a=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域;
          (II)若對任意x∈[0,+∞),總有|f(x)|≤3成立,求實數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅲ)若m>0(m為常數(shù)),且對任意x∈[0,1],總有|g(x)|≤M成立,求M的取值范圍.
          分析:(I)當a=1時,f(x)=1+(
          1
          2
          )
          x
          +(
          1
          4
          )
          x
          ,根據(jù)f(x)在(-∞,0)上遞減,可求f(x)在(-∞,0)的值域;
          (II)由題意知,對任意x∈[0,+∞),總有-3≤f(x)≤3成立,分離參數(shù)可得-4•2x-(
          1
          2
          )
          x
          ≤a≤2•2x-(
          1
          2
          )
          x
          在[0,+∞)上恒成立,從而[-4•2x-(
          1
          2
          )
          x
          ]max≤a≤[2•2x-(
          1
          2
          )
          x
          ]min
          ,由此可求實數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅲ)先判斷g(x)在[0,1]上遞減,即
          1-2m
          1+2m
          ≤g(x)≤
          1-m
          1+m
          ,再分類討論,即可確定M的取值范圍.
          解答:解:(I)當a=1時,f(x)=1+(
          1
          2
          )
          x
          +(
          1
          4
          )
          x

          因為f(x)在(-∞,0)上遞減,所以f(x)>f(0)=3,即f(x)在(-∞,0)的值域為(3,+∞)
          (II)由題意知,對任意x∈[0,+∞),總有-3≤f(x)≤3成立.
          -4-(
          1
          4
          )x≤a•(
          1
          2
          )x≤2-(
          1
          4
          )x

          -4•2x-(
          1
          2
          )
          x
          ≤a≤2•2x-(
          1
          2
          )
          x
          在[0,+∞)上恒成立,
          [-4•2x-(
          1
          2
          )
          x
          ]max≤a≤[2•2x-(
          1
          2
          )
          x
          ]min

          設(shè)2x=t,則t≥1,設(shè)h(t)=-4t-
          1
          t
          ,p(t)=2t-
          1
          t
          ,
          h′(t)=-4+
          1
          t2
          <0
          ,p′(t)=2+
          1
          t2
          >0

          ∴h(t)在[1,+∞)上遞減,p(t)在[1,+∞)上遞增
          ∴在[1,+∞)上,h(t)max=h(1)=-5,p(t)min=p(1)=1
          ∴實數(shù)a的取值范圍為[-5,1];
          (Ⅲ)g(x)=
          1-m•2x
          1+m•2x
          =-1+
          2
          1+m•2x

          ∵m>0,x∈[0,1]
          ∴g(x)在[0,1]上遞減
          ∴g(1)≤g(x)≤g(0),即
          1-2m
          1+2m
          ≤g(x)≤
          1-m
          1+m

          ①當|
          1-2m
          1+2m
          |≤|
          1-m
          1+m
          |
          ,即m∈(0,
          2
          2
          ]時,|g(x)|≤|
          1-m
          1+m
          |
          ,此時,M≥|
          1-m
          1+m
          |

          ②當|
          1-2m
          1+2m
          |>|
          1-m
          1+m
          |
          ,即m∈(
          2
          2
          ,+∞)時,|g(x)|≤|
          1-2m
          1+2m
          |
          ,此時,M≥|
          1-2m
          1+2m
          |

          綜上所述,m∈(0,
          2
          2
          ]時,M的取值范圍為[|
          1-m
          1+m
          |,+∞)
          ;m∈(
          2
          2
          ,+∞)時,M的取值范圍為[|
          1-2m
          1+2m
          |,+∞)
          點評:本題考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          |x|
          ,g(x)=1+
          x+|x|
          2
          ,若f(x)>g(x),則實數(shù)x的取值范圍是( 。
          A、(-∞,-1)∪(0,1)
          B、(-∞,-1)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )
          C、(-1,0)∪(
          -1+
          5
          2
          ,+∞)
          D、(-1,0)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1,x∈Q
          0,x∉Q
          ,則f[f(π)]=(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1-x
          ax
          +lnx(a>0)

          (1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)當a=1時,求f(x)在[
          1
          2
          ,2
          ]上的最大值和最小值;
          (3)當a=1時,求證對任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
          1
          2
          +
          1
          3
          +
          1
          4
          +
          +
          1
          n
          恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
          π
          6
          ),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( 。

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          同步練習(xí)冊答案