Question

把函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移

π

6

個(gè)單位后得到一個(gè)最小正周期為2π的奇函數(shù)g（x）．
（Ⅰ） 求ω和φ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）=g²（x），x∈[-

5π

24

，

π

4

]的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移伸縮的知識確定g（x）=2cos（

ωx

2

+

ωπ

12

+∅），再根據(jù)周期和函數(shù)為奇函數(shù)確定ω和φ的值．
（Ⅱ）根據(jù)h（x）=f（x）-g²（x），確定出h（x），將函數(shù)化成一角一函數(shù)的形式，從而確定最值．

解答：解：（Ⅰ）m（x）=2cos（

ωx

2

+∅）?g（x）=2cos（

ωx

2

+

ωπ

12

+∅）
由

2π×2

ω

=2π?ω=2．
則g（x）=2cos（x+∅+

π

6

），
g（x）為奇函數(shù)，
又∅+

π

6

=kπ+

π

2

，且0＜φ＜π
故∅=

π

3

（Ⅱ）h（x）=f（x）-g²（x）=2cos（2x+

π

3

）-4sin²x=cos2x-

3

sin2x-2（1-cos2x）
=3cos2x-

3

sin2x-2=-2

3

sin（2x-

π

3

）-2，
當(dāng)x∈[-

5π

24

，

π

4

]?2x∈[-

5π

12

，

π

2

]?2x-

π

3

∈[-

3π

4

，

π

6

]，
故h（x）_max=2

3

-2，h（x）_min=-

3

-2．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)圖象的平移，周期性，奇偶性，最值的綜合，屬于中檔題．