Question

【題目】已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，焦點為，拋物線上一點的橫坐標(biāo)為2，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線交拋物線于，兩點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，由求得的值，由此求得拋物線方程.

（2）法一：設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，計算，由此證得.

法二：將直線的斜率分為存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，通過計算，證得.

（1）由題設(shè)拋物線的方程為：，

則點的坐標(biāo)為，點的一個坐標(biāo)為，

∵，∴，

∴，∴，∴.

（2）設(shè)、兩點坐標(biāo)分別為、，

法一：因為直線當(dāng)的斜率不為0，設(shè)直線當(dāng)的方程為

方程組，得，

，

因為，

所以

，

所以.

法二：①當(dāng)的斜率不存在時，的方程為，此時，，

即，有，所以.

②當(dāng)的斜率存在時，設(shè)的方程為.

方程組，得，

所以，

因為，

所以

所以.

由①②得.