Question

如圖，多面體ABCDE的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形BCDE為平行四邊形，且CD⊥平面ABC．
（1）證明：BC⊥平面ACD；
（2）若AB=5，BC=4，tan∠EAB=

4

5

，求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥平面ABC可得，CD⊥BC①再AB是圓O的直徑可得BC⊥AC②，由①②根據(jù)線面垂直的判定定理可證
（2）要求多面體ABCDE的體積可轉(zhuǎn)化為求四棱錐A-BCDE的體積，由已知可得CD⊥AC，AC⊥BC，CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE．即
AC是四棱錐A-BCDE的高．代入錐體體積公式可求

解答：（1）證明：因?yàn)镃D⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以CD⊥BC．
因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以BC⊥AC，又CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD．
（2）多面體ABCDE是一個(gè)四棱錐A-BCDE．
因?yàn)镃D⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以CD⊥AC，
又AC⊥BC，CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE．所以AC是四棱錐A-BCDE的高．
因?yàn)锳B=5，BC=4，所以AC=

AB2-BC2

=3．
因?yàn)锳B=5，tan∠EAB=

BE

AB

=

4

5

，所以BE=4．
所以底面BCDE的面積為BC×BE=4×4=16．
所以VA-BCDE=

1

3

SBCDE•AC=

1

3

×16×3=16．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系的線面垂直的判定定理的運(yùn)用，空間幾何體的體積的求解等知識(shí)，錐體體積的計(jì)算中最為關(guān)鍵的是確定錐體的高，而若高的確定比較困難時(shí)，常用等體積轉(zhuǎn)化求解答，也是非常常用的方法，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．