Question

如圖為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的一段圖象．
（1）請寫出這個函數(shù)的一個解析式；
（2）求與（1）中函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2π，對稱的函數(shù)圖象的解析式，并作出它一個周期內(nèi)的簡圖．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)的周期求出ω，由頂點的縱坐標(biāo)求A，把定點的坐標(biāo)代入求出φ的值，從而得到函數(shù)的解析式．
（II）設(shè)（x，y）為所求函數(shù)圖象上任意一點，該點關(guān)于直線x=2π對稱點為（4π-x，y），則點（4π-x，y）必在函數(shù)y=3sin(

1

2

x-

π

6

)的圖象上．由此求出關(guān)于直線x=2π對稱的函數(shù)圖象的解析式，列表做出圖象．

解答：解：（I）T=

13π

3

-

π

3

=4π，∵ω=

2π

T

=

1

2

，又A=3，
由y=3sin(

1

2

x+φ)的圖象過(

π

3

，0)，∴0=3sin(

1

2

×

π

3

+φ)，φ=-

π

6

（為其中一個值）．
∴y=3sin(

1

2

x-

π

6

)為所求．
（II）設(shè)（x，y）為所求函數(shù)圖象上任意一點，該點關(guān)于直線x=2π對稱點為（4π-x，y），
則點（4π-x，y）必在函數(shù)y=3sin(

1

2

x-

π

6

)的圖象上．
∴y=3sin[

1

2

(4π-x)-

π

6

]，即y=-3sin(

1

2

x-

π

6

)，
∴與y=3sin(

1

2

x-

π

6

)的圖象關(guān)于直線x=2π對稱的函數(shù)圖象的解析式是y=-3sin(

1

2

x+

π

6

)．
列表：

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
1 2 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	-3	0	3	0

作圖：

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．