Question

設函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²；
（1）當a=-1時，求函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y+3=0距離的最小值；
（2）是否存在正實數(shù)a，使得不等式f（x）≤g（x）對一切正實數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由f（x）=-x+lnx，得f′(x)=-1+

1

x

，令f'（x）=1，得x=

1

2

∴所求距離的最小值即為P(

1

2

，f(

1

2

))到直線x-y+3=0的距離
d=

| 1 2 -(- 1 2 -ln2)+3|

2

=

1

2

(4+ln2)

2

（2）假設存在正數(shù)a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），則F（x）_max≤0
由F′(x)=a+

1

x

-2a2x=0得x=

1

a

∵x＞

1

a

時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）為減函數(shù)；
當0＜x＜

1

a

時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）為增函數(shù)
∴F(x)max=F(

1

a

)
∴ln

1

a

≤0即a≥1
所以a的取值范圍是[1，+∞）