Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x、y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求曲線f(x)=F[1，log2(x3-3x)]與直線4x+15y-3=0垂直的切線方程；
（Ⅱ）若存在實數(shù)b使曲線g(x)=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]在（m，n）點處的切線斜率為-8，且m∈[2，4]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f(x)=F[1，log2(x3-3x)]=x3-3x，依題意令log2(x3-3x)＞0，因為所求曲線C₁的切線與直線4x+15y-3=0垂直，故令f′(x)=3x2-3=

15

4

得x2=

9

4

．由此能推導出所求切線方程．
（2）函數(shù)g(x)=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]=x3+ax2+bx+1，令log2(x3+ax2+bx+1)＞0，得x³+ax²+bx＞0，因切點為（m，n），故有m³+am²+bm＞0，由此能求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=F[1，log2(x3-3x)]=x3-3x，
依題意令log2(x3-3x)＞0①，（2分）
因為所求曲線C₁的切線與直線4x+15y-3=0垂直，
故令f′(x)=3x2-3=

15

4

得x2=

9

4

②，
由①②知應取x=-

3

2

，得f(-

3

2

)=

9

8

，切點為(-

3

2

，

9

8

)，
所求切線方程是y-

9

8

=

15

4

(x+

3

2

)，
即15x-4y+27=0．（4分）
（2）函數(shù)g(x)=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]=x3+ax2+bx+1
令log2(x3+ax2+bx+1)＞0，得x³+ax²+bx＞0
因切點為（m，n），
故有m³+am²+bm＞0，（6分）
又g'（x）=3x²+2ax+b，
依題意有g'（m）=3m²+2am+b=-8，b=-3m²-2am-8
所以m³+am²+bm=m³+am²+（-3m²-2am-8）m
即-2m³-am²-8m＞0，（8分）
該不等式在m∈[2，4]上有解，
即2m³+am²+8m＜0在m∈[2，4]上有解，
轉(zhuǎn)化為a＜-2m-

8

m

在m∈[2，4]上有解，（10分）
令h(m)=-2m-

8

m

，
則h′(m)=-2+

8

m2

，在m∈[2，4]上恒有h'（m）＜0
所以函數(shù)h（m）是[2，4]上的減函數(shù)，
其最大值為h（2）=-8，
所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-8）．（12分）

點評：本題考查切線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，對數(shù)學思維的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質(zhì)和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．