Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等方程求a的值即可；
（2）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類，先研究f（x）的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解f（x）在R上的最小值問(wèn)題即可，故只要先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值即得．

解答：解：f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]（2分）
（1）f'（2）=e²[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=-3（4分）
（2）令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=-1-a
當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)極值（7分）
當(dāng)a＞0，-1＞-1-a，f（x）在（-∞，-1-a），（-1，+∞）上遞增，（-1-a，-1）上遞減
極大值為f（-1-a）=e^-1-a（a+2），極小值f(-1)=

2-a

e

（10分）
當(dāng)a＜0時(shí)，-1＜-1-a，f（x）在（-∞，-1），（-1-a，+∞）上遞增，（-1，-a-1）上遞減
極大值為f(-1)=

2-a

e

，極小值f（-1-a）=e^-1-a（a+2）（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．