Question

已知函數(shù)f(x)=ax2-

1

2

x+ca、c∈R滿足條件：①f（1）=0；②對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0．
（Ⅰ）求a、c的值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先函數(shù)f(x)=ax2-

1

2

x+c是二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0；根據(jù)f（1）=0得 a+c=

1

2

，即c=

1

2

-a，從而可得  a(

1

2

-a)≥

1

16

，進(jìn)而可得a=

1

4

，c=

1

4

，
另解：首先函數(shù)f(x)=ax2-

1

2

x+c是二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0；由f（1）=0，得 a+c=

1

2

，代入上式得  ac≤

1

16

，根據(jù) ac≥

1

16

，可得ac=

1

16

，從而有 

ac= 1 16 a+c= 1 2

，故可求a、c的值；
（Ⅱ）g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

．該函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1．假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，從而可求m的值

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-

1

2

x+c．
由f（1）=0得：-

1

2

+c=0，即c=

1

2

，∴f(x)=-

1

2

x+

1

2

．
顯然x＞1時(shí)，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，不合題意．
∴a≠0，函數(shù)f(x)=ax2-

1

2

x+c是二次函數(shù)．                                            …（2分）
由于對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

a＞0 (- 1 2 )2-4ac≤0.

 
即

a＞0 ac≥ 1 16 ＞0.

（*）…（4分）
由f（1）=0得 a+c=

1

2

，即c=

1

2

-a，代入（*）得  a(

1

2

-a)≥

1

16

．
整理得 a2-

1

2

a+

1

16

≤0，即(a-

1

4

)2≤0．
而(a-

1

4

)2≥0，∴a=

1

4

．
將a=

1

4

代入（*）得，c=

1

4

，
∴a=c=

1

4

．                                                                           …（7分）
另解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-

1

2

x+c．
由f（1）=0得  -

1

2

+c=0，即c=

1

2

，
∴f(x)=-

1

2

x+

1

2

．
顯然x＞1時(shí)，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，
∴a≠0，因而函數(shù)f(x)=ax2-

1

2

x+c是二次函數(shù)．                                        …（2分）
由于對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

a＞0 (- 1 2 )2-4ac≤0.

 
即 

a＞0 ac≥ 1 16 ＞0.

…（4分）
由此可知  a＞0，c＞0，
∴ac≤(

a+c

2

)2．
由f（1）=0，得 a+c=

1

2

，代入上式得  ac≤

1

16

．
但前面已推得  ac≥

1

16

，
∴ac=

1

16

．
由   

ac= 1 16 a+c= 1 2

解得 a=c=

1

4

．                                                       …（7分）
（Ⅱ）∵a=c=

1

4

，∴f(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

．
∴g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

．
該函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1．                                                …（8分）
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．
①當(dāng)m＜-1時(shí)，2m+1＜m，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞增的，
∴g（m）=-5，
即     

1

4

m2-(

1

2

+m)m+

1

4

=-5，
解得  m=-3或m=

7

3

．
∵

7

3

＞-1，∴m=

7

3

舍去．                                                          …（10分）
②當(dāng)-1≤m＜1時(shí)，m≤2m+1＜m+1，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，2m+1]上是遞減的，而在區(qū)間[2m+1，m+2]上是遞增的，
∴g（2m+1）=-5，
即    

1

4

(2m+1)2-(

1

2

+m)(2m+1)+

1

4

=-5．
解得   m=-

1

2

-

1

2

21

或m=-

1

2

+

1

2

21

，均應(yīng)舍去．                                    …（12分）
③當(dāng)m≥1時(shí)，2m+1≥m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞減的，
∴g（m+2）=-5，
即    

1

4

(m+2)2-(

1

2

+m)(m+2)+

1

4

=-5．
解得  m=-1-2

2

或m=-1+2

2

，其中m=-1-2

2

應(yīng)舍去．
綜上可得，當(dāng)m=-3或m=-1+2

2

時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．
…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、方程、不等式等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力，本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)的解析式的求解與函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，正確分類，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的綜合性．