Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g(x)=1+ax+

1

2

x2，a∈R．
（1）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），討論F（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若-2≤a≤1，求證：對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂時(shí)，都有

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷，先求函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到極值點(diǎn)，再判斷極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若左正右負(fù)為極大值，若左負(fù)右正為極小值，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為極大值的個(gè)數(shù)加極小值的個(gè)數(shù)．
（2）欲證

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

，用分析法，只需尋找成立的充分條件即可，最終找到只需證明G′(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立，再把

a+2

3

ex-a-x看成關(guān)于a的一次函數(shù)，當(dāng)a∈[-2，1]時(shí)，兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值都大于0，所以當(dāng)-2≤a≤1時(shí)，

a+2

3

ex-a-x≥0恒成立，原命題成立

解答：解：（1）F(x)=ex-1-ax-

1

2

x 2，F(xiàn)'（x）=e^x-a-x，F(xiàn)''（x）=e^x-1，令F''（x）=0，得x=0
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，F(xiàn)''（x）＜0，從而F′（x）在（-∞，0上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)''（x）＞0，從而F′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以F′（x）_min=F′（0）=1-a，
當(dāng)F′（x）_min=1-a≥0，即a≤1時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0恒成立，F(xiàn)（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)F′（x）_min=1-a＜0，即a＞1時(shí)，（又x→-∞，F(xiàn)′（x）→+∞，x→+∞，F(xiàn)′（x）→+∞）F（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)
（2）證明：

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

?g(x2)-g(x1)＜

a+2

3

(f(x2)-f(x1))?

a+2

3

f(x1)-g(x1)＜

a+2

3

f(x2)-g(x2)?G(x)=

a+2

3

ex-1-ax-

1

2

x2在[1，2]上單調(diào)遞增?G′(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立
令H(a)=

a+2

3

ex-a-x=(

ex

3

-1)a+

2

3

ex-x(-2≤a≤1)，關(guān)于a是一次函數(shù)．
又H（-2）=2-x≥0，H（1）=e^x-1-x≥0，（由F'（x）=e^x-a-x≥1-a得）
所以G(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立，所以，原命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，單調(diào)區(qū)間，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．