Question

（2012•鹽城一模）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體AC₁中，點(diǎn)P、Q分別在棱BC、CD上，滿足B₁Q⊥D₁P，且PQ=

2

．
（1）試確定P、Q兩點(diǎn)的位置．
（2）求二面角C₁-PQ-A大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以

AB

，

AD

，

AA1

為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CP=a(0≤a≤

2

)，利用

B1Q

•

D1P

=0，得出關(guān)于a的方程并求解即可．
（2）分別求出平面C₁PQ、面APQ的一個(gè)法向量，利用兩向量夾角求二面角C₁-PQ-A大小．

解答：解：（1）以

AB

，

AD

，

AA1

為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CP=a(0≤a≤

2

)，
則CQ=

2-a2

，P(2，2-a，0)，Q(2-

2-a2

，2，0)，B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），

B1Q

=(-

2-a2

，2，-2)，

D1P

=(2，-a，-2)，
∵B₁Q⊥D₁P，
∴

B1Q

•

D1P

=0，
∴-2

2-a2

-2a+4=0，
解得a=1…（4分）
∴PC=1，CQ=1，即P、Q分別為BCCD中點(diǎn)…（5分）
（2）設(shè)平面C₁PQ的法向量為

n

=(a，b，c)，
∵

PQ

=(-1，1，0)，

PC1

=(0，1，2)，
又

n

•

PQ

=

n

•

PC1

=0，
∴

-a+b=0 b+2c=0

，
令c=-1，則a=b=2，

n

=(2，2，-1)…（8分）
∵

k

=(0，0，-2)為面APQ的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n

，

k

＞=

1

3

，而二面角為鈍角
故余弦值為-

1

3

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問(wèn)題，能夠降低思維難度．