Question

已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)．定義：若對給定的實數(shù)a（a≠0），函數(shù)y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a積性質(zhì)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x＞0）對任何a＞0，滿足“a積性質(zhì)”．求y=f（x）的表達式．

Answer 1

解（1）函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）的反函數(shù)是，
∴，
而g（x+1）=（x+1）²+1（x＞-1），其反函數(shù)為，
故函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）不滿足“1和性質(zhì)”．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=kx+b（x∈R）滿足“2和性質(zhì)”，k≠0．
∴，∴，
而 f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函數(shù) ，
由“2和性質(zhì)”定義可知 ，對（x∈R）恒成立．
∴k=-1，b∈R，即所求一次函數(shù)f（x）=-x+b（b∈R）．
（3）設(shè)a＞0，x₀＞0，且點（x₀，y₀）在y=f（ax）圖象上，則（y₀，x₀）在函數(shù)y=f^-1（ax）圖象上，
故，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
令 ax₀=x，則，∴，即．
綜上所述，，此時，其反函數(shù)是，
而，故y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數(shù)．
分析：（1）先求出 g^-1（x） 的解析式，換元可得g^-1（x+1）的解析式，將此解析式與g（x+1）的作對比，看是否滿足互為反函數(shù)．
（2）先求出f^-1（x） 的解析式，再求出 f^-1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f^-1（x+2）的解析式，用兩種方法得到的 f^-1（x+2）的解析式應該相同，解方程求得滿足條件的一次函數(shù)f（x）的解析式．
（3）設(shè)點（x₀，y₀）在y=f（ax）圖象上，則（y₀，x₀）在函數(shù)y=f^-1（ax）圖象上，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
，即，即 滿足條件．
點評：本題考查反函數(shù)的求法，函數(shù)與反函數(shù)的圖象間的關(guān)系，體現(xiàn)了換元的思想，屬于中檔題．