Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+2)+

a

x

，g(x)=blnx，
（Ⅰ） 若b＞0，x₂＞x₁＞e，求證：x₂g（x₁）＞x₁g（x₂）；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在正實(shí)數(shù)a，b，使方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出正實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）引入新函數(shù)y=

lnx

x

，研究其單調(diào)性知其是一個(gè)減函數(shù)，x₂＞x₁＞e比較其函數(shù)值，整理即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)f(x)=ln(x+2)+

a

x

，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，由于導(dǎo)數(shù)中含有參數(shù)a故要對(duì)其取值范圍進(jìn)行討論．
（Ⅲ）方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即f（x）-g（x）=0有兩個(gè)根，故可以構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），研究函數(shù)的性質(zhì)確定其有兩個(gè)零點(diǎn)的條件，即可解出參數(shù)a，b的值或確定其不存在．

解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè)h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）在（e，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，又x₂＞x₁＞e，∴h（x₁）＞h（x₂）即

lnx1

x1

＞

lnx2

x2

，故得x₂lnx₁＞x₁lnx₂．又b＞0，故有bx₂lnx₁＞bx₁lnx₂，即x₂g（x₁）＞x₁g（x₂）；
（Ⅱ）由題意，f′(x)=

1

x+2

-

a

x2

=

x2-ax-2a

(x+2)x2

，x∈（0，+∞）
①當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)于x∈（0，+∞），由f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0，解得x＞

a+ a2+8a

2

，由f'（x）＜0，解得0＜x＜

a+ a2+8a

2

，∴函數(shù)f（x）在（0，

a+ a2+8a

2

）內(nèi)是減函數(shù)，在（

a+ a2+8a

2

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．綜上當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，

a+ a2+8a

2

）內(nèi)是減函數(shù)，在（

a+ a2+8a

2

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
（Ⅲ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=ln(x+2)+

a

x

-blnx，其中a，x∈（0，+∞），則F′（x）=

1

x+2

-

a

x2

-

b

x

，
當(dāng)0＜b≤1時(shí)，由于x∈（0，+∞），可得ln（x+2）＞blnx又

a

x

＞0，故F（x）＞0恒成立，此時(shí)不可能有零點(diǎn)；
當(dāng)b＞1時(shí)，∵

1

x+2

＜

b

x

∴

1

x+2

-

b

x

＜0又

a

x2

＞0，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，因此它在定義域內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，無(wú)論a，b為怎么樣的正實(shí)數(shù)，函數(shù)都不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故不存在這樣的正實(shí)數(shù)a，b使得使方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解本題的關(guān)鍵是求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式與導(dǎo)數(shù)的形式對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，本題中的第二小題屬于探究型題目，要根據(jù)所能得出的性質(zhì)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推測(cè)，如本題中0＜b≤1時(shí)沒(méi)有從導(dǎo)數(shù)的角度研究零點(diǎn)的存在性，而采取了從函數(shù)值恒正的角度，解題時(shí)根據(jù)題設(shè)條件選擇合適的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究很關(guān)鍵．本題運(yùn)算量較大，易因運(yùn)算馬虎出錯(cuò)，變形時(shí)一定要嚴(yán)謹(jǐn)．