Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b
（1）設(shè)E、F分別為AB₁、BC₁的中點，求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：AC⊥AB；
（3）求四面體B₁ABC₁的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意得，EF是三角形 BA₁C₁的中位線，可得EF∥A₁C₁，EF∥AC，從而證得EF∥平面ABC．
（2）先證明AB₁⊥平面A₁BC₁ ，可得 AB₁⊥AC，又由 BB₁⊥AC得到AC⊥平面ABB₁A₁，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，求得AC的值，點A到BC的距離h，利用四面體B₁ABC₁的體積等于

1

3

•(

1

2

B1 C1•BB1)h，求得結(jié)果．

解答：解：（1）證明：由題意得，EF是三角形 BA₁C₁的中位線，
∴EF∥A₁C₁，EF∥AC．
而AC?平面ABC，EF不在平面ABC內(nèi)，∴EF∥平面ABC．
（2）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，
故ABB₁A₁ 為正方形，∴AB₁⊥A₁B．
這樣，AB₁ 垂直于平面A₁BC₁內(nèi)的兩條相交直線BC₁和A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁ ，得到 AB₁⊥A₁C₁ ，∴AB₁⊥AC．
又由 BB₁⊥AC得到AC⊥平面ABB₁A₁，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，AC=

BC2- AB2

=

b2-a2

，
故點A到BC的距離h=

AB•AC

BC

=

a  b2-a2

b

，
故四面體B₁ABC₁的體積等于

1

3

•(

1

2

B1 C1•BB1)h=

1

3

• (

1

2

•b•a) •

a b2-a2

b

=

1

6

a2

b2-a2

．

點評：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，證明AC⊥平面ABB₁A₁，是解題的難點．