Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t>0且t≠1），若x=是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點。
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記，當(dāng)t=2時，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n>2008的n的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)t=2時，求證：對于任意的正整數(shù)n，有。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由題意，即，
∴，
∵t>0且t≠1，
∴數(shù)列是以為首項，t為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴

以上各式兩邊分別相加得，
∴，
當(dāng)n=1時，上式也成立，
∴；
（Ⅱ）當(dāng)t=2時，，
∴

由，得，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
因此n的最小值為1005；
（Ⅲ）∵，
∴<。