Question

由下列式子　1＞

1

2

1+

1

2

+

1

3

＞1
1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

＞

3

2

1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＞2
…
猜想第n個(gè)表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．

Answer 1

分析：由所給式子可以猜想1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＞

n

2

，再用數(shù)學(xué)歸納法論證．

解答：解：猜想1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＞

n

2

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)，成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＞

k

2

，
則n=k+1時(shí)，左邊=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞ 

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

，其中

1

2k

+…+

1

2k+1-1

共有2^k項(xiàng)，

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞ 

2k

2k+1-1

＞

2k

2k+1

=

1

2

，
所以1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k+1

2

，即n=k+1時(shí)，成立，
由（1）（2）可知，結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”，在證題的過程中，歸納推理一定要起到條件的作用，即證明n=k+1成立時(shí)必須用到歸納遞推這一條件