Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中、.若恒成立，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

構(gòu)造函數(shù)，可知該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，然后分、、三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出函數(shù)在區(qū)間上最值的可能取值，利用絕對值三角不等式可求出當(dāng)取得最小值時(shí)的值.

構(gòu)造函數(shù)，則，

由于，

所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且.

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，

所以，

此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，取最小值；

②當(dāng)時(shí)，對任意的，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，

所以，

此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，取最小值；

③當(dāng)時(shí)，令，得，令，列表如下：

		極大值		極小值

不妨設(shè)，則，則，

，

，且，，

，若，則，

若，則，但，

，

所以，.

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，取得最小值;

當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，此時(shí).

故答案為：.