Question

【題目】中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受．如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長方形，長30 cm，寬26 cm，其內(nèi)部窗芯（不含長方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱．設(shè)菱形的兩條對角線長分別為x cm和y cm，窗芯所需條形木料的長度之和為L．

（1）試用x，y表示L；

（2）如果要求六根支條的長度均不小于2 cm，每個(gè)菱形的面積為130 cm2，那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長的條形木料（不計(jì)榫卯及其它損耗）？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）由條件可先求水平方向每根支條長，豎直方向每根支條長為，因此所需木料的長度之和L=（2）先確定范圍由可得，再由面積為130 cm2，得，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，令，則在上為增函數(shù)，解得L有最小值．

試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長為cm，豎直方向每根支條長為cm，菱形的邊長為cm．從而，所需木料的長度之和L=cm．

（2）由題意，，即，又由可得．所以．

令，其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以可得．則

=．

因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)L有最小值．答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長的條形木料．