Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，以下關(guān)于f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）說法正確的有（　　）
①其圖象可由y=2sin2x 向左平移

π

3

 得到；     
②其圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱；
③其圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

3

，0）對(duì)稱；                   
④在區(qū)間（-

π

6

，0）上是增函數(shù)．

A．①②③

B．②③④

C．③④

D．①②③④

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)f（x），求導(dǎo)數(shù)f'（x），利用三角函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答：解：∵f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），∴f'（x）=2cos（2x-

π

6

）．
①將y=2sin2x 向左平移

π

3

 得到y(tǒng)=sin2（x+

π

3

）=sin（2x+

2π

3

），∴①錯(cuò)誤．
②當(dāng)x=

π

12

時(shí)，f'（

π

12

）=2cos（2×

π

12

-

π

6

）=2cos0=2，為函數(shù)f'（x）的最大值，∴函數(shù)f'（x）關(guān)于x=

π

12

對(duì)稱，∴②正確．
③當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f'（

π

3

）=2cos（2×

π

3

-

π

6

）=2cos

π

2

=0，∴圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

3

，0）對(duì)稱，∴③正確．
④當(dāng)-

π

6

＜x＜0，-

π

3

＜2x＜0，-

π

2

＜2x-

π

6

＜-

π

6

，則函數(shù)f'（x）=2cos（2x-

π

6

）．在區(qū)間（-

π

6

，0）上是增函數(shù)．∴④正確．
故正確的是②③④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．