Question

對(duì)于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題：

①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；

④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD.

其中真命題的序號(hào)是____________.（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題要判斷線線垂直，可以圍繞著線面垂直的相關(guān)性質(zhì)來逐一判定.

解：對(duì)于①，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE.則有BC⊥AE，BC⊥DE，BC⊥平面ADE.又AD平面ADE，所以有BC⊥AD；對(duì)于④，過點(diǎn)A向平面BCD作垂線AO,連結(jié)BO與CD交于點(diǎn)E，則CD⊥BE.同理,CF⊥BD.所以點(diǎn)O是△BCD的垂心.連結(jié)DO，則有BC⊥DO，BC⊥AO，BC⊥AD.故應(yīng)填①④.

［一通百通］ 要證明（或判定）線線垂直時(shí)，通常要根據(jù)已知條件先得出線面垂直關(guān)系，從而利用線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直.