Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，且PA=AD=2，E、F分別為棱AD、PC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EF和PB所成角的大��；
（2）求證：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求直線BD與平面PBC所成角．

Answer 1

分析：通過建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用異面直線的方向向量的夾角即可求出異面直線所成的角；
（2）由（1）可知EF⊥BP，只要再證明EF⊥BC即可證明EF⊥平面PBC，進(jìn)而得到面面垂直；
（3）若

n

為平面PBC的法向量，θ為斜線BD與平面所成的角，利用sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|求出即可．

解答：解：（1）分別以直線AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵E為線段AD的中點(diǎn)，∴E（0，1，0）；F為PC的中點(diǎn)，∴F（1，1，1）．
∴

EF

=（1，0，1），又

PB

=（2，0，-2），∴cos＜

EF

，

PB

＞=

1×2+1×(-2)

1+1  • 22+(-2)2

=0，
∴＜

EF

，

PB

＞=90°．
∴異面直線EF和PB所成角為90°；
（2）證明：∵

BC

=（0，2，0），∴

EF

•

BC

=0+0+0=0，∴EF⊥BC；
由（1）可知：EF⊥BP，而BC∩BP=B，∴EF⊥平面PBC，
又EF?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PBC．
（3）由（2）可知：EF⊥平面PBC，∴可取

EF

作為平面PBC的法向量，
設(shè)BD與平面PBC所成的角為θ，又

BD

=(-2，2，0)，
∴sinθ=|cos＜

BD

，

EF

＞|=

| BD • EF |

| BD | | EF |

=

2

8 × 2

=

1

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

6

．
故直線BD與平面PBC所成角為

π

6

．

點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量所成的角求異面直線所成的角、

a

•

b

=0?

a

⊥

b

證明垂直及利用平面的法向量證明線面、面面垂直、求線面角是解題的關(guān)鍵．