Question

已知三點(diǎn)A（1，y₁），B（2，y₂），C（3，y₃）不共線，其中y_i∈{4，5，6，7，8，9}（i=1，2，3）．若對(duì)于△ABC的內(nèi)心I，存在實(shí)數(shù)λ，使得

IA

+

IC

=λ•

IB

，則這樣的三角形共有

30

個(gè)．

Answer 1

分析：先判斷出三角形ABC 中，BA=BC，利用兩點(diǎn)距離公式得出|y₂-y₁|=|y₃-y₂|，由于A，B，C三點(diǎn)不共線，只能有y₂-y₁=-（y₃-y₂），即y₃=y₁≠y₂．y₂先從∈{4，5，6，7，8，9}中任取一個(gè)數(shù)，共有6中取法，y₃，y₁從剩余的五個(gè)數(shù)中相同的取一個(gè)，共有5中取法，共有6×5=30中取法，及共有30個(gè)三角形．

解答：解：如圖．

設(shè)D為AC中點(diǎn)，根據(jù)向量加法的幾何意義，

IA

+

IC

=μ

ID

，又

IA

+

IC

=λ•

IB

，所以

IB

，

ID

共線，
所以BD既為內(nèi)角∠ABC的平分線，也為一條中線，所以BA=BC．
根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，得出|y₂-y₁|=|y₃-y₂|，
由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以y₂-y₁≠y₃-y₂，
只能有y₂-y₁=-（y₃-y₂），即y₃=y₁≠y₂
y₂先從∈{4，5，6，7，8，9}中任取一個(gè)數(shù)，共有6中取法，y₃，y₁從剩余的五個(gè)數(shù)中相同的取一個(gè)，共有5中取法，
共有6×5=30中取法，及共有30個(gè)三角形．
故答案為：30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量加法的幾何意義，三角形五心的有關(guān)性質(zhì)，乘法計(jì)數(shù)原理．將三者巧妙的結(jié)合，是好題．