Question

已知　f(x)=

x

ex

（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a_n=f（n），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，并證明

e(en-1)-n(e-1)

(e-1)2en

≤

n

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出數(shù)列的通項(xiàng)．利用等比數(shù)列的求和公式求和，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

ex

，∴f′(x)=

ex-xex

(ex)2

=

1-x

ex

，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)遞減．
所以f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，1]，遞減區(qū)間是[1，+∞）．　…5分
（Ⅱ）∵a_n=f（n），S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴an=

n

en

且Sn=

1

e

+

2

e2

+

3

e3

…+

n

en

，
∴

1

e

Sn=

1

e2

+

2

e3

+

3

e4

+…+

n-1

en

+

n

en+1

∴(1-

1

e

)Sn=

1

e

+

1

e2

+

1

e3

+…+

1

en

-

n

en+1

=

1 e (1- 1 en )

1- 1 e

-

n

an+1

∴Sn=

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

．
由（Ⅰ）知f(x)max=f(1)=

1

e

，∴f(x)≤

1

e

，∴an=f(n)≤

1

e

，∴Sn≤

n

e

，
∴

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

≤

n

e

．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．