Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)可得f（x）=-f（-x），由y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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2

對稱，得到f（1-x）=f（x）與f（x）=-f（-x）結(jié)合，根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期，再求出一個周期上的函數(shù)值，再求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2010）值

解答：解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)可得f（x）=-f（-x），①
y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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2

對稱，得到f（1-x）=f（x）  ②
由①②得f（1-x）=-f（-x）③，由奇的性質(zhì)③可變?yōu)閒（x-1）=-f（x）在R上恒成立，故有f（x-1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）的周期是2，故有f（0）=f（2）=0 ④
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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2

對稱，知f（1）=f（0）=0 ⑤
由④⑤及函數(shù)的周期是2，f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=…=f（2010）=0
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2010）=0
故答案為：0

點評：本題考查函數(shù)的周期性，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中的條件求出函數(shù)的周期，再由周期性求值