Question

一袋中裝有4n只紅球和n只黑球（所有球的形狀、大小都相同），每一次從袋中摸出兩只球，且每次摸球后均放回袋中．現(xiàn)規(guī)定：摸出的兩只球顏色不同則為中獎．設(shè)三次摸球恰有一次中獎的概率為P，則當n=    時，使得P最大．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設(shè)某一次中獎的概率為q，由古典概型公式和組合數(shù)公式可將q用n表示出來，進而由n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的公式將p用q表示，分析可得q=時，p最大；
進而可得=，解可得n的值，即可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，設(shè)某一次中獎的概率為q，
在4n只紅球和n只黑球任取2只有C_5n²種取法，若摸出的兩只球顏色不同即一紅一黑有C_4n¹×C_n¹種情況，
則q==；
若三次摸球恰有一次中獎，
則P=C₃¹q•（1-q）²=3q（1-q）²=[（2q）（1-q）（1-q）]，
分析可得，當2q=1-q，即q=時，p最大；
若q==，解可得n=5；
即n=5時，p最大；
故答案為5．
點評：本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及基本不等式的運用，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用概率公式，求出兩只球顏色不同的概率以及三次摸球恰有一次中獎的概率．