Question

已知動點M到定點F₁（-2，0）和F₂（2，0）的距離之和為4

2

．
（I）求動點M軌跡C的方程；
（II）設N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交橢圓C異于N的A、B兩點，直線NA、NB的斜率分別為k₁、k₂，證明：k_l+k₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由橢圓的定義的動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時，直接求出A，B的坐標，則k₁、k₂可求，求出k_l+k₂=4，當斜率存在時，設出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫坐標的和與積，寫出斜率的和后代入A，B兩點的橫坐標的和與積，整理后得到k_l+k₂=4．從而證得答案．

解答：（Ⅰ）解：由橢圓定義，可知點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點，以4

2

為長軸長的橢圓．
由c=2，a=2

2

，得b²=a²-c²=8-4=4．
故曲線C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）證明：如圖，
當直線l的斜率存在時，設其方程為y+2=k（x+1），
由

x2 8 + y2 4 =1 y+2=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

4k(k-2)

1+2k2

，x1x2=

2k2-8k

1+2k2

．
從而k1+k2=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=

2kx1x2+(k-4)(x1+x2)

x1x2

=2k-(k-4)

4k(k-2)

2k2-8k

=4．
當直線l的斜率不存在時，得A(-1，

14

2

)，B(-1，-

14

2

)．
得k_l+k₂=

14 2 -2

-1

+

- 14 2 -2

-1

=4．
綜上，恒有k_l+k₂=4，為定值．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，此類問題常用直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，考查了學生的計算能力，屬難題．