Question

對于函數(shù) f（x），若存在x₀∈R，使 f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的“滯點”．已知函數(shù)f （ x ）=

x2

2x-2

．
（I）試問f（x）有無“滯點”？若有，求之，否則說明理由；
（II）已知數(shù)列{a_n}的各項均為負數(shù)，且滿足4Sn•f(

1

an

)=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）已知b_n=a_n•2ⁿ，求{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由f(x)=

x2

2(x-1)

，令f（x）=x，得x²-2x=0，解得x=0，或x=2．由此知f（x）存在兩個滯點0和2．
（II）由題得4Sn•(

1

an

)2=2(

1

an

-1)，所以2S_n=a_n-a_n²，故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0∵a_n＜0∴a_n+1-a_n=-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（III）由T_n=-1•2-2•2²-3•2³-…-n•2ⁿ，知2T_n=-1•2²-2•2³-3•2⁴-…-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹．由此能求出{b_n}的前項和T_n．

解答：解：（I）由f(x)=

x2

2(x-1)

，
令f（x）=x，…（2分）
得x²-2x=0，解得x=0，或x=2．
即f（x）存在兩個滯點0和2．…（4分）
（II）由題得4Sn•(

1

an

)2=2(

1

an

-1)，
∴2S_n=a_n-a_n²…①…（5分）
故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²…②
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0，
∵a_n＜0，
∴a_n+1-a_n=-1，
即{a_n}是等差數(shù)列，且d=-1…（9分）
當n=1時，由2S₁=a₁-a₁²=2a₁得a₁=-1
∴a_n=-n…（11分）
（III）∵T_n=-1•2-2•2²-3•2³-…-n•2ⁿ…③
∴2T_n=-1•2²-2•2³-3•2⁴-…-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…④
由④-③得T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1…（14分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，解題時要認真審題，注意錯位相減求和法的靈活運用．