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        1. (2013•中山模擬)已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>o)
          的左焦點(diǎn)為F(-
          2
          ,0),離心率e=
          2
          2
          ,M、N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).
          (Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足:
          OP
          =
          OM
          +2
          ON
          ,直線OM與ON的斜率之積為-
          1
          2
          ,問(wèn):是否存在定點(diǎn)F1,F(xiàn)2,使得|PF1|+|PF2|為定值?,若存在,求出F1,F(xiàn)2的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
          (Ⅲ)若M在第一象限,且點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,點(diǎn)M在x軸上的射影為A,連接NA 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,證明:MN⊥MB.
          分析:(Ⅰ)利用橢圓的左焦點(diǎn)為F(-
          2
          ,0),離心率e=
          2
          2
          ,建立方程組,求得幾何量,從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)利用
          OP
          =
          OM
          +2
          ON
          ,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系,由直線OM與ON的斜率之積為-
          1
          2
          ,結(jié)合M、N是橢圓上的點(diǎn),即可求得結(jié)論;
          (Ⅲ)設(shè)出坐標(biāo),證明kMN•kMB+1=0即可得到結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)解:由題設(shè)可知:
          c=
          2
          c
          a
          =
          2
          2
          ,∴a=2,c=
          2
          …2分
          ∴b2=a2-c2=2…3分
          ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          …4分
          (Ⅱ)解:設(shè)P(xP,yP),M(x1,y1),N(x2,y2),由
          OP
          =
          OM
          +2
          ON
          可得:
          xP=x1+2x2
          yP=y1+2y2
          ①…5分
          由直線OM與ON的斜率之積為-
          1
          2
          可得:
          y1y2
          x1x2
          =-
          1
          2
          ,即x1x2+2y1y2=0②…6分
          由①②可得:xP2+2yP2=(x12+2y12)+(x22+2y22
          ∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn),∴x12+2y12=4,x22+2y22=4
          ∴xP2+2yP2=8,即
          x
          2
          P
          8
          +
          y
          2
          P
          4
          =1
          …..8分
          由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值4
          2
          ;….9分;
          (Ⅲ)證明:設(shè)M(x1,y1),B(x2,y2),則x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,x1≠x2,A(x1,0),N(-x1,-y1)…..10分
          由題設(shè)可知lAB斜率存在且滿足kNA=kNB,∴
          y1
          2x1
          =
          y2+y1
          x2+x1
          ….③
          kMN•kMB+1=
          y1
          x1
          y2-y1
          x2-x1
          +1④…12分
          將③代入④可得:kMN•kMB+1=
          2(y2+y1)
          x2+x1
          y2-y1
          x2-x1
          +1=
          (
          x
          2
          2
          +2
          y
          2
          2
          )-(
          x
          2
          1
          +2
          y
          2
          1
          )
          x
          2
          2
          -
          x
          2
          1
          ⑤….13分
          ∵點(diǎn)M,B在橢圓
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          上,∴kMN•kMB+1=
          (
          x
          2
          2
          +2
          y
          2
          2
          )-(
          x
          2
          1
          +2
          y
          2
          1
          )
          x
          2
          2
          -
          x
          2
          1
          =0
          ∴kMN•kMB+1=0
          ∴kMN•kMB=-1
          ∴MN⊥MB…14分.
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查軌跡方程的求法,考查學(xué)生的計(jì)算能力,考查分析解決問(wèn)題的能力.
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