Question

已知半徑為5的圓C的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線ax-y+5=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓與直線4x+3y-29=0相切，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，即可求得圓C的方程；
（2）利用圓心到直線的距離小于半徑，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）假設(shè)存在，則PC⊥AB，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），則
∵圓與直線4x+3y-29=0相切，∴5=

|4a-29|

5

，∴a=1或a=13.5
∵圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，∴a=1
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=25；
（2）由題意，圓心到直線的距離為d=

|a+5|

a2+1

＜5
∴12a²-5a＞0，∴a＜0或a＞

5

12

；
（3）假設(shè)存在，則PC⊥AB，∴

4-0

-2-1

×a=-1，∴a=

3

4

∵

3

4

＞

5

12

，
∴a=

3

4

時(shí)，使得過(guò)點(diǎn)P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．