Question

（2012•黃州區(qū)模擬）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁B₁上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點(diǎn)位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明線面平行，可以利用線面平行的判定定理，只要證明 A₁B∥OD即可；
（Ⅱ）可判斷BA，BC，BB₁兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求得平面ADC₁的法向量、平面ADC的法向量，利用向量數(shù)量積可求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，根據(jù)AE與DC₁成60°角，利用向量的數(shù)量積，可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OD．
由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點(diǎn)．
又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A₁BC中位線，
所以 A₁B∥OD，
因?yàn)?nbsp;OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以 A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁兩兩垂直．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz．設(shè)BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以 

AD

=(1，-2，0)，

AC1

=(2，-2，1)
設(shè)平面ADC₁的法向量為

n

=（x，y，z），則有

n • AD =0 n • AC1 =0

所以 

x-2y=0 2x-2y+z=0.

取y=1，得

n

=（2，1，-2）．
平面ADC的法向量為

v

=（0，0，1）．
由二面角C₁-AD-C是銳角，得 cos＜

n

，

v

＞=

| n • v |

| n || v |

=

2

3

．…（8分）
所以二面角C₁-AD-C的余弦值為

2

3

．
（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E．
因?yàn)镋在線段A₁B₁上，A₁（0，2，1），B₁（0，0，1），故可設(shè)E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
所以 

AE

=(0，λ-2，1)，

DC1

=(1，0，1)．
因?yàn)锳E與DC₁成60°角，所以|

AE • DC1

| AE || DC1 |

|=

1

2

．
即|

1

(λ-2)2+1 • 2

|=

1

2

，解得λ=1，舍去λ=3．
所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A₁B₁中點(diǎn)時(shí)，AE與DC₁成60°角．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運(yùn)用向量的方法解決面面角、線線角．