Question

下列命題中所有正確的命題是：

（1），（3）

．
（1）不同的兩個數(shù)a，b的等差中項(xiàng)A的絕對值必大于它們的等比中項(xiàng)G的絕對值．（等差中項(xiàng)A，等比中項(xiàng)G均存在）
（2）無窮等差數(shù)列中有三項(xiàng)是13，25，41，則2013一定是此數(shù)列中的一項(xiàng)．
（3）等比數(shù)列{a_n}中所有項(xiàng)均為正數(shù)，并且公比q≠1，則a₂+a₆＞a₃+a₅．
（4）對任何數(shù)列{a_n}（n≥3），都存在一個等差數(shù)列{x_n}與一個等比數(shù)列{y_n}，使得對任何n∈N^*，a_n=x_n+y_n．

Answer 1

分析：老師（4）怎么判斷，反例不好舉呀！

解答：解：若兩個數(shù)a，b存在等比中項(xiàng)G，則這兩個數(shù)同號，由基本不等式易得（1）成立，
若無窮等差數(shù)列是首項(xiàng)41的遞減數(shù)列，則滿足無窮等差數(shù)列中有三項(xiàng)是13，25，41，但2013必不為數(shù)列中的某項(xiàng)，故（2）錯誤；
等比數(shù)列{a_n}中所有項(xiàng)均為正數(shù)，則q＞0，則a₂+a₆=a₂（1+q⁴），a₃+a₅=a₂（q+q³），
∵（1+q⁴）-（q+q³）=（1-q）²（q²+q+1）＞0恒成立，故a₂+a₆＞a₃+a₅，即（3）正確

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