Question

如圖，在長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)證明:；
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；
(3)線(xiàn)段的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.

試題分析：解決立體幾何中的垂直、距離及空間角，有幾何法與空間向量法，其中幾何法，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力及扎實(shí)的立體幾何理論知識(shí)；向量法，則要求學(xué)生能根據(jù)題意準(zhǔn)確建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有效點(diǎn)、有效向量的坐標(biāo)必須準(zhǔn)確無(wú)誤，然后將立體幾何中的問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題，這也需要學(xué)生具備較好的代數(shù)運(yùn)算能力.
幾何法：（1）要證，只須證明平面，然后根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行尋找條件即可；（2）運(yùn)用的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可求出點(diǎn)到面的距離；（3）先作于，連接，然后充分利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)證明為二面角的平面角，最后根據(jù)所給的棱長(zhǎng)與角度進(jìn)行計(jì)算即可得到線(xiàn)段的長(zhǎng).
向量法： (1)建立空間坐標(biāo)，分別求出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積等于零即可；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離，只需找平面的一條過(guò)點(diǎn)的斜線(xiàn)段在平面的法向量上的投影即可；(3)設(shè)，因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033908103481.png" style="vertical-align:middle;" />的一個(gè)法向量為，只需求出平面的法向量，然后利用二面角為，根據(jù)夾角公式，求出即可.
試題解析：解法一：(1)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面，                      4分
(2)等體積法：由已知條件可得，，，所以為等腰三角形
=， ，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)可得，，即，解得         8分
(3)過(guò)點(diǎn)作于，連接

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033908618410.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，又，∩，所以平面
故，為二面角的平面角
所以，，，，
由可得，                14分
解法二: 以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè),則,
(1),,故；
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033907963318.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn),則,從而, ,設(shè)平面的法向量為,則也即,得,從而,所以點(diǎn)到平面的距離為 ；
(3)設(shè)平面的法向量, 而, 由,即,得,依題意得: , ,解得 (不合,舍去),
∴時(shí),二面角的大小為.