Question

已知點(diǎn)A(– 2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，且.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；

（2）過點(diǎn)B的直線l與軌跡G交于兩點(diǎn)M、N．試問在x軸上是否存在定點(diǎn)C ，使得 為常數(shù).若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）

（2）C(1，0)

解析:

(1) 由余弦定理得： 

即16＝

＝

所以，

即

（當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B共線時(shí)也符合上述結(jié)論）

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線

所以，軌跡G的方程為 

(2) 假設(shè)存在定點(diǎn)C(m，0)，使為常數(shù).

①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為

 

由題意知，

設(shè)，

則， 

于是

∴

＝ 

＝

要是使得 為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí) 

②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，,當(dāng)時(shí)．

故，在x軸上存在定點(diǎn)C(1，0)，使得為常數(shù)