Question

已知向量

OP

=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，

OQ

=(cosx，-1)，定義f(x)=

OP

•

OQ

（1）求出的解析式．當(dāng)時，它可以表示一個振動量，請指出其振幅，相位及初相．
（2）f（x）的圖象可由y=sinx的圖象怎樣變化得到？
（3）設(shè)x∈[-

7π

4

，-

3π

4

]時f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），求f-1(

1

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數(shù)量積、二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)、化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求出其振幅，相位及初相．
（2）利用左加右減的原則，通過左右平移，伸縮變換即可由y=sinx的圖象得到f（x）的圖象；
（3）求出f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）的表達(dá)式，即可通過x∈[-

7π

4

，-

3π

4

]，求出f-1(

1

2

)的值．

解答：解：（1）f(x)=

OP

•

OQ

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）
=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1
=sinx+cosx
=

2

sin（x+

π

4

）．
其振幅為

2

，相位為x+

π

4

，初相為

π

4

，
（2）可由y=sinx圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的

2

倍，
再把曲線上的所有點(diǎn)向左平移

π

4

單位，
就得到y(tǒng)=

2

sin(x+

π

4

)的圖象．
（3）不妨設(shè)f^-1（

1

2

）=t，t∈[-

7π

4

，-

3π

4

]，
則f（t）=

1

2

，即

2

sin (t+

π

4

) =

1

2

∴sin (t+

π

4

) =

2

4

∵-

7π

4

≤t≤-

3π

4

∴-

3π

2

≤t+

π

4

≤-

π

2

，
∴t+

π

4

=-π-arcsin

2

4

，
∴t=-

5

4

π-arcsin

2

4

即f^-1（

1

2

）=-

5

4

π-arcsin

2

4

．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．