Question

已知f(x)=

1+lnx

x

（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828）
（1）求f（x）的極大值；
（2）若x₁，x₂是區(qū)間[

1

e

，e]上的任意兩個實數(shù)，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，令導數(shù)大于0或小于0，由此能得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進而得到函數(shù)的極大值；
（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)區(qū)間[

1

e

，e]上的單調(diào)性，進而得到函數(shù)在區(qū)間[

1

e

，e]上的最值，即得證．

解答：（1）解：∵f(x)=

1+lnx

x

（x＞0），
∴f'（x）=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1，
故f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，
即函數(shù)在x=1時取得極大值，且極大值為1；
（2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，
在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，
故函數(shù)在區(qū)間[

1

e

，1)上為增函數(shù)，在（1，e]上為減函數(shù)，
又f(

1

e

)=

1+ln 1 e

1 e

=0，f(e)=

1+lne

e

=

2

e

，f(1)=

1+ln1

1

=1
∴f（x）_max=f（1）=1，f（x）_min=f（

1

e

）=0
∴對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=1-0=1，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應用，具體涉及到函數(shù)解析式的求法和不等式的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．