Question

（選做題）直角坐標系xOy和極坐標系Ox的原點與極點重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標系下，曲線C的參數方程為

x=4cosφ y=2sinφ

，(φ為參數）．
（1）在極坐標系下，曲線C與射線θ=

π

4

和射線θ=-

π

4

分別交于A，B兩點，求△AOB的面積；
（2）在直角坐標系下，直線l的參數方程為

x=6 2 -2t y=t- 2

（t為參數），求曲線C與直線l的交點坐標．

Answer 1

分析：（1）先消去參數方程中的參數得普通方程，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換將直角坐標方程化成極坐標方程，通過極坐標方程求出三角形的邊長后求面積即可．
（2）將l的參數方程代入曲線C的普通方程，得t的值，再代入l的參數方程，得曲線C與直線l的交點坐標．

解答：解：（1）曲線C的參數方程為

x=4cosφ y=2sinφ

，(φ為參數）．
消去參數得它的普通方程為：

x2

16

+

y2

4

=1，
將其化成極坐標方程為：

ρ2cos2θ

16

+

ρ2sin2θ

4

=1，
分別代入θ=

π

4

和θ=-

π

4

得|OA|²=|OB|²=

32

5

，
因∠AOB=

π

2

，故△AOB的面積S=

1

2

|OA||OB|=

16

5

．
（2）將l的參數方程代入曲線C的普通方程，得（t-2

2

）²=0，
∴t=2

2

，代入l的參數方程，得x=2

2

，y=

2

，
∴曲線C與直線l的交點坐標為（2

2

，

2

）．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化．