Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對(duì)任意的n∈N₊，都有an+1=2an+2n．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：對(duì)任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n都為定值．

Answer 1

分析：（1）由an+1=2an+2n，知

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

．由此能夠證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列．
（2）由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，故an=n•2n-1．所以Sn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．由錯(cuò)位相減法能夠證明對(duì)任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n都為定值．

解答：證明：（1）∵an+1=2an+2n，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

．
∴數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

21

=

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
∴an=n•2n-1．
∴Sn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．…①
∴2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n．…②
∴由②-①可得Sn=n•2n-(1+2+22+…+2n-1)=(n-1)•2n+1．
∴Sn+1-4an=n•2n+1+1-4n•2n-1=1，
故對(duì)任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n都為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．